En los últimos años, las capacidades de la IA en el ámbito de las matemáticas han experimentado avances vertiginosos. Yendo mucho más allá de la simple asistencia computacional o la demostración de teoremas, la IA se aplica hoy a la investigación matemática de alto nivel: explora conjeturas, construye demostraciones e incluso resuelve problemas matemáticos que han permanecido abiertos durante décadas.
El pasado mes de mayo, un agente de IA de Google DeepMind resolvió nueve problemas de Erdős que hasta entonces carecían de solución y abordó 44 conjeturas matemáticas abiertas. Más recientemente, OpenAI publicó 722 manuscritos matemáticos en GitHub —todos ellos generados por sus propios modelos de IA— que abarcan campos de vanguardia como la teoría de números, la geometría algebraica y la informática teórica. Este hecho ha desatado un intenso debate sobre el impacto de la IA en la investigación matemática.
La comunidad matemática no ha permanecido en silencio. Veinticinco ganadores de la Medalla Fields, entre ellos Terence Tao y Yu Deng, suscribieron una carta abierta en la que advierten sobre un «grave desajuste» entre la IA y las matemáticas; al mismo tiempo, la comunidad matemática ha instado a los matemáticos de todo el mundo a cesar cualquier colaboración con OpenAI.
Por un lado, observamos una producción masiva de «resultados»; por otro, una comunidad matemática que dice «no». Este «conflicto» nos obliga a plantearnos: ¿qué valoran realmente las matemáticas: la respuesta final o el proceso?. ¿Puede considerarse un auténtico logro matemático una demostración que, aunque verificada, resulta incomprensible para el ser humano?. A medida que la IA se adentra en el terreno de las matemáticas, ¿estamos ante una sustitución, una potenciación o un enriquecimiento mutuo?. En medio de esta compleja dinámica, ¿qué papel deberían desempeñar los matemáticos y los ingenieros de IA?. Para explorar estas cuestiones, hemos conversado con Li Jianshu, académico de la Academia China de Ciencias y decano del Instituto de Estudios Avanzados en Matemáticas de la Universidad de Zhejiang, y con Wang Jian, académico de la Academia China de Ingeniería y director del Laboratorio de Zhejiang (Zhejiang Lab).
¿Puede la IA transformar el panorama futuro de las matemáticas?.
La IA está conduciendo a la ciencia hacia una era caracterizada por un «exceso de respuestas». En campos como la ciencia de materiales, el descubrimiento de fármacos y las ciencias de la vida, los modelos generativos son capaces de producir millones de estructuras o hipótesis candidatas de una sola vez, superando con creces la velocidad a la que es posible realizar verificaciones experimentales. Algunos académicos denominan a esta brecha creciente la «brecha de las tijeras de verificación». A medida que la generación de resultados se vuelve cada vez más económica, mientras que su verificación resulta cada vez más costosa, el foco del descubrimiento científico se desplaza desde la «formulación de hipótesis» hacia la «evaluación y verificación». Las matemáticas se enfrentan a un desafío similar en medio de esta transformación: aunque la IA puede «resolver» problemas matemáticos complejos —e incluso determinar si una conclusión dada es correcta—, no puede explicar con claridad *por qué* dicha conclusión es correcta.
Reportero: Los recientes avances de la IA en el campo de las matemáticas han sido descritos por muchos como una «sacudida» o incluso una «disrupción». ¿Cómo percibe usted este cambio actual? ¿Se trata de una crisis para las matemáticas o de un nuevo comienzo?.
Li Jianshu: Las perspectivas sobre el impacto de la IA en la investigación matemática son variadas. Para un matemático en particular, es natural sentir una cierta pérdida si un problema al que ha dedicado una década de estudio es resuelto de repente por una IA. Sin embargo, al observar el futuro de las matemáticas en su conjunto, no experimento una sensación de pérdida, sino una gran emoción, ya que esto marca el inicio de una nueva y apasionante era para la disciplina.
Pensemos en la invención del cálculo: antes de su aparición, el trabajo necesario para calcular la longitud de curvas, el área de superficies o el volumen de sólidos geométricos era lo suficientemente complejo como para constituir la base de un artículo de investigación. Una vez inventado el cálculo, tales tareas quedaron relegadas al nivel de ejercicios académicos para estudiantes universitarios. No obstante, las matemáticas y los matemáticos no desaparecieron; al contrario, se vieron «potenciados». Este cambio dio lugar a campos modernos como la geometría diferencial, el análisis armónico, la teoría analítica de números y las ecuaciones diferenciales, transformando fundamentalmente todo el panorama de las matemáticas.
Reportero: Actualmente, muchos de los logros matemáticos de la IA permanecen en la etapa de «demostraciones declaradas». En el contexto de la investigación matemática, ¿puede equipararse una «demostración declarada» a una «demostración verificada»?. ¿Qué relevancia tienen estos resultados generados por la IA para la investigación matemática?.
Li Jianshu: En la investigación matemática tradicional, el hecho de que un matemático afirme haber encontrado una demostración no es, por sí mismo, concluyente; dicha afirmación debe someterse a una verificación rigurosa antes de poder ser aceptada como una demostración válida. Por ejemplo, desde mis tiempos universitarios, he recibido innumerables «demostraciones» de la conjetura de Goldbach; pero, obviamente, no se puede aceptar una afirmación de este tipo simplemente porque alguien la haya formulado. Dicho esto, considero muy posible que la IA haya logrado, efectivamente, demostrar al menos algunos aspectos de estos desafíos matemáticos de larga data; simplemente debemos tomarnos el tiempo necesario para comprender y verificar el razonamiento que sustenta dichas demostraciones.
Wang Jian: En efecto, los matemáticos son de los primeros en subrayar la importancia de «plantear preguntas», y más concretamente, de «plantear preguntas originales». La irrupción de la IA ha proporcionado, de repente, «respuestas» a una gran cantidad de problemas matemáticos complejos. Dejando a un lado la cuestión de si estas «respuestas» pueden verificarse, creo que la resolución de tales problemas impulsará, de hecho, a la humanidad a plantear preguntas aún más originales. La oferta de «problemas» es inagotable, lo que bien podría brindarnos la oportunidad de descubrir nuevas cuestiones de gran valor.
¿Qué pueden ofrecerse mutuamente la IA y las matemáticas?.
La historia de la ciencia ha mostrado el mismo escenario una y otra vez: una disciplina desarrolla una herramienta y, a su vez, dicha herramienta transforma la disciplina misma. El telescopio, por ejemplo, convirtió la astronomía —que antes se basaba en la observación a simple vista— en una ciencia de mediciones precisas, al tiempo que impulsó avances en la óptica y la fabricación de alta precisión. Hoy les toca el turno a la IA y a las matemáticas, con una diferencia fundamental: esta vez, la ingeniería ha avanzado más rápido que la teoría. Todavía carecemos de una explicación rigurosa de por qué funcionan fenómenos como las leyes de escala en los modelos, su capacidad de generalización o su aptitud para el razonamiento en cadenas largas. En situaciones críticas, un modelo puede llegar a la respuesta «correcta» a través de un proceso totalmente erróneo. Más importante aún: aunque el papel actual de la IA en la investigación científica es principalmente predictivo, la ciencia exige algo más que predicciones; requiere atribución causal. Pasar de la correlación a la causalidad no se logra simplemente acumulando más datos; exige reconstruir los marcos matemáticos y los de otras disciplinas. En este proceso, ¿qué pueden aportar la IA y las matemáticas la una a la otra?.
Reportero: La IA ha tenido un impacto profundo en la investigación matemática. Para evaluar esta influencia, tal vez debamos volver a las raíces mismas de las matemáticas. ¿Cuál es el propósito último de la investigación matemática?. ¿Representa el surgimiento de la inteligencia artificial (IA) un cambio de paradigma en la investigación matemática, o simplemente acelera el ritmo actual?.
Li Jianshu: La matemática está repleta de problemas complejos y conjeturas, algo así como una cadena de cimas montañosas. Superar estos desafíos equivale a alcanzar una cumbre, un logro que, por sí mismo, ya es significativo. Sin embargo, el propósito de la investigación matemática va más allá de resolver problemas o alcanzar cimas; se trata también de la posibilidad de contemplar paisajes aún más grandiosos desde la cima y de descubrir, a su vez, más matemáticas. Es muy probable que, como resultado, el paradigma de la investigación matemática cambie. La llegada de la IA potencia considerablemente esta posibilidad.
Hasta principios del siglo XX —una época ejemplificada por figuras como David Hilbert—, los grandes matemáticos solían ser polímatas que dominaban diversas ramas de la disciplina. Desde entonces, el sistema de las disciplinas matemáticas se ha vuelto tan vasto que resulta imposible para un solo matemático dominar todas sus áreas o vertientes. La mayor fortaleza de la IA reside en su capacidad para integrar conocimientos de distintas disciplinas. Aprovechando esto, la comunidad matemática podría lograr una reintegración y simplificación del panorama actual —tan extenso y fragmentado—, profundizando así nuestra comprensión y percepción de los problemas matemáticos. Como señaló en su día el célebre matemático Hua Luogeng, el proceso de aprendizaje consiste en pasar de un volumen delgado a uno grueso, para luego volver a uno delgado: cuanto más a fondo se comprende una materia, más concisa resulta. ¿Podría esta nueva perspectiva sobre los problemas matemáticos conducir al desarrollo de una matemática totalmente inédita?. La perspectiva es, sin duda, apasionante.
Wang Jian: No soy matemático profesional; a mi modo de ver, el álgebra y la geometría fueron, en su día, campos completamente independientes. Sin embargo, gracias al sistema de coordenadas cartesianas —que actuó como «puente»—, ambos quedaron interconectados. En los últimos años, la IA no solo ha ganado potencia, sino que ha experimentado una transformación profunda: la unificación de metodologías mediante grandes modelos. En otras palabras, la IA ha desarrollado su propio «sistema de coordenadas cartesianas», lo que le permite trascender las fronteras disciplinarias y sintetizar conocimientos provenientes de campos muy diversos. En consecuencia, una integración profunda entre la IA y las matemáticas podría transformar el paradigma de la investigación matemática.
Reportero: El núcleo de la capacidad de la IA para «resolver» problemas matemáticos reside en su facultad de razonamiento, un indicador clave para evaluar la potencia de un modelo a gran escala. ¿De dónde proviene, entonces, esta capacidad de razonamiento?. ¿Y cómo pueden las matemáticas contribuir a hacer que la IA sea aún más poderosa?.
Wang Jian: La capacidad de razonamiento que los modelos de IA pueden adquirir directamente a partir de textos es bastante limitada; actualmente, gran parte de esta capacidad proviene del código. Aunque la IA actual pueda parecer muy avanzada, la potencia de razonamiento que los modelos a gran escala obtienen del código no representa su límite definitivo. ¿Por qué?. Porque, como fuente primaria de datos, el código difiere fundamentalmente de la vasta y rica información disponible en todo el campo de las matemáticas. Si la IA lograra extraer capacidades de razonamiento más profundas y sofisticadas a partir de datos matemáticos, esto no solo impulsaría enormemente el desarrollo de la propia IA, sino que también ejercería una influencia de gran alcance en otras disciplinas científicas.
Li Jianshu: Se habla con frecuencia de la «IA para la ciencia», pero rara vez se menciona la «ciencia para la IA» o las «matemáticas para la IA». En la actualidad, el desarrollo de la IA depende principalmente de la práctica de la ingeniería y de las teorías matemáticas existentes. ¿Cuáles son los mecanismos subyacentes de la IA?. ¿Existen algoritmos más eficientes para optimizarla?. ¿Qué tipo de investigación matemática fundamental —capaz de desencadenar un cambio revolucionario en la IA— podría llevarse a cabo?. Este es un desafío importante para la comunidad matemática. Siendo sinceros, las matemáticas aún no han contribuido lo suficiente a la IA. Creo que, en el futuro, más matemáticos de talla mundial centrarán su atención en este campo. Si los fundamentos matemáticos de la IA se fortalecen mediante nuevos marcos teóricos, el avance de sus capacidades ya no dependerá únicamente de la potencia de cálculo y el consumo eléctrico, sino de una inversión sostenida en «capacidad intelectual».
Del empoderamiento mutuo a la colaboración abierta: ¿qué podemos hacer?.
Las matemáticas constituyen la base de toda la ciencia y la tecnología, desempeñando un papel único e indispensable. Hoy en día, existe la expectativa de que la IA se convierta, de manera similar, en un pilar fundamental, impulsando un cambio de paradigma en la investigación científica y acelerando el ritmo de los descubrimientos. Para que la IA evolucione verdaderamente hasta convertirse en una infraestructura científica fundamental, la tecnología por sí sola no basta; se requiere un marco abierto y confiable: un «orden». Este orden no surge automáticamente de la tecnología, sino que debe ser establecido y salvaguardado por las personas. ¿Quiénes deberían participar en la reconfiguración de este orden?. ¿Cómo es posible organizar a un sinfín de individuos provenientes de diversas instituciones y disciplinas?. Y, una vez establecido este orden, ¿cómo moldeará a las personas que viven dentro de él?.
Reportero: Ante esta nueva era, ¿cómo deberíamos responder?.
Li Jianshu: Necesitamos crear un mecanismo de innovación y colaboración totalmente abierto: una comunidad de innovación de «IA + Matemáticas». Esta comunidad debería reunir a instituciones de investigación centradas en la IA, centros y equipos especializados en investigación matemática, empresas privadas con un fuerte impulso innovador y capacidades prácticas, así como a personas apasionadas por las matemáticas y la IA. Juntos, pueden explorar nuevas vías para la integración profunda de la investigación matemática y la IA, impulsando así tanto la investigación fundamental como las fronteras de la ciencia.
Esto plantea, además, una cuestión más profunda: ¿qué tipo de matemáticos necesitaremos en el futuro?. Considero que tareas como perfeccionar investigaciones ya existentes podrán ser realizadas, cada vez más, por la IA. Por su parte, los matemáticos deberían aprovechar la IA para dedicarse a un razonamiento matemático de mayor nivel, centrándose en sus propias contribuciones, que son únicas y originales. Desde esta perspectiva, la demanda de matemáticos de primer nivel no hará sino aumentar considerablemente en el futuro. En consecuencia, la educación matemática y la formación de matemáticos experimentarán cambios fundamentales. Planes de estudio, paradigmas pedagógicos, programas de capacitación… nuestra generación tiene una enorme labor por delante.
Wang Jian: En realidad, la IA no colabora únicamente con una disciplina académica específica; más bien, colabora con los científicos para, en última instancia, resolver problemas prácticos de la humanidad. Por tanto, no solo necesitamos una «IA para la ciencia», sino también una «IA para los científicos» y, en última instancia, una «IA para la humanidad» y una «ciencia para la humanidad». Objetivamente, esto exige un mecanismo abierto —que no pertenezca a ningún individuo en particular— para garantizar que la IA y las matemáticas puedan servir mejor a todas las disciplinas y a todas las personas.
Reportero: Ambos han mencionado la necesidad de establecer un mecanismo abierto de innovación y colaboración. ¿Cómo debería implementarse esto exactamente?. ¿Cuál es el objetivo de esta comunidad de innovación centrada en la «IA + Matemáticas»?.
Li Jianshu: Es una propuesta que, probablemente, requerirá una exploración continua. Actualmente, el Instituto de Estudios Avanzados en Matemáticas de la Universidad de Zhejiang y el Laboratorio de Zhejiang han puesto en marcha conjuntamente la «Iniciativa para las Matemáticas del Futuro» (Future Mathematics Initiative), lo que constituye el primer paso de un largo camino.
La iniciativa se centra en el empoderamiento mutuo entre la IA y las matemáticas, haciendo hincapié en cuatro áreas clave de innovación abierta: en primer lugar, el desarrollo de modelos matemáticos fundamentales capaces de integrar conocimientos de diversas ramas de las matemáticas, estableciendo al mismo tiempo el razonamiento matemático como una capacidad central y subyacente para los modelos científicos fundamentales. En segundo lugar, la investigación sobre la verificación formal, con el fin de garantizar que el contenido matemático generado por la IA sea verificable, acumulativo y reutilizable, proporcionando así una base sólida para un razonamiento matemático fiable y para la exploración de problemas de vanguardia. En tercer lugar, la investigación de los mecanismos matemáticos que subyacen a la IA —explorando los principios fundamentales que rigen el aprendizaje, la generalización y el razonamiento de cadena larga en los modelos de IA— para impulsar el avance de la IA mediante nuevos conocimientos teóricos. En cuarto lugar, el aprovechamiento de las capacidades matemáticas fundamentales para potenciar otras disciplinas, explorando cómo la teoría matemática puede integrarse de manera más eficaz en la investigación científica interdisciplinaria para respaldar todo el sistema de las ciencias básicas.
Wang Jian: La «Iniciativa para las Matemáticas del Futuro» tiene como objetivo construir un ecosistema de investigación que se refuerce a sí mismo. Por un lado, utiliza la IA para ampliar los horizontes de la investigación matemática; por otro, examina las capacidades y los fundamentos teóricos de la IA desde una perspectiva matemática. En última instancia, busca potenciar la capacidad de resolución de problemas en la investigación científica, actuando desde su origen y sus fundamentos.
